Re: 面接後もしくは応募の時点で前の課に調査（確認）する可能性

聞く可能性はあると思います。実際にそういう話は聞いたことがあります。ただ、その情報が選考に利用されているのかどうかまではわかりません。決まった後に聞いただけ、という可能性もであるので。自治体によってルールが違うと思いますし、なんとも言えないですね。