５年で終わりなんですね(泣）

その後どうしよう(泣）

役所によりますが同じ部局や係にこだわらなければ何年でもいられるのではないでしょうか。課を変えたり、局を変えたり。組織は変わっても外局なら同じようなものですし。逆に同じ課や係に5年以上もいたいという人は正職員になればいいのでは。まあ正職員でもせいぜい同じ係は2年ですし、同じ課に二度となれないことのほうが多いですけど・・5年以上も同じ人がいると正規職員でも非正規職員でも空気が淀むと思います。

何かそこに必要な専門の非常勤でないなら、同じ部署に５年で十分かと。
5年真面目に勤めれば、出先とか、ほかの局とかで採用してくれる場合も多いです。
自分で受け直してもよいし、２さんが言うように、民間や行政の正規職員受ければよいかと。
もし、これから正規職員受けるなら、非常勤は短い方がよいように思いますよ。
経歴は常勤分だけ、というところもありますから。
まずは、真面目に、頑張って。