面接後もしくは応募の時点で前の課に調査（確認）する可能性

正規職員側なので、場違いな質問を申し訳ありません。

私の自治体では、1月に来年度の臨時職員採用試験（面接試験）が一斉に行われ、それに合格できた人は、最大3年（稀に1年こっきりの人もいるようですが、よほどのことが無い限りはありません。）の雇用期間になります。

もちろん、雇用期間が満了になる年の1月に試験を受け、それに合格出来たら、部署が変わる可能性はありますが、また勤務することができます。

タイトルの通りの質問になりますが、自治体によっても方法は違うかと思いますが、来年度の臨時職員の採用試験を実施する自治体もあるかと思います。
それで合格ならまた勤務をすることができ、不合格なら年度末で終了という形です。

今は建前上、前職調査をするということは違法と聞きますが、合格された場合、もしくは、臨時職員の方がそのような類の試験を受けることを課内の人間が知った場合。
例えば、現在臨時職員のAと言う人が建設課にいて、建設課内もAが次年度の採用試験を受けることを知っている場合

１：採用試験の担当者（大体人事課）が建設課にAの人間性などのことを聞く
２：Aが試験に合格後、例えば今度は市民課になった場合、市民課（新職）が建設課（前職）にAの人間性などを聞く
３：逆に建設課側が先にAの人間性などを話してしまう。つまり、Aが建設課職員に嫌われているなら、「あいつはやめとけ」と先に人事課だったり、採用が決まった新しい課に対して根回しするなど。

と言うのはあるのでしょうか？

現在、私の周りではそういうのは見たことはありませんが、同期のいるよその課の話になりますが、臨時職員二人（BとCとします）がとても仲が悪くて、BがずっとCに陥れられていて、（周りはずっとBが悪いと思っていたけど、後になってCが悪いことが判明）、それと関係しているのかは分かりませんが、そこの課自体は、臨時職員が沢山いる課で、BC含める数名は試験に合格していたのですが、一人合格取り消しになっていた子がいたので、ひょっとしてと思ったのです。

（取り消しになった子がBやCかと言われるとわかりませんが）

聞く可能性はあると思います。実際にそういう話は聞いたことがあります。ただ、その情報が選考に利用されているのかどうかまではわかりません。決まった後に聞いただけ、という可能性もであるので。自治体によってルールが違うと思いますし、なんとも言えないですね。